Budapesten született. 1985-ben végezte el a Színház- és Filmművészeti Főiskolát, s még ebben az évben csatlakozott a Szegedi Nemzeti Színház társulatához. 1989-től a Pécsi Nemzeti Színház tagjainak sorát erősítette, 1992-től az Arizona, 1993-1994 között a József Attila Színház tagja volt. 1994-1996-ig a Radnóti Színházban lépett fel, majd a Soproni Petőfi Színházban játszott 2003-ig. Jelenleg a kecskeméti Katona József Színház tagja.

Színpadon játszotta többek között Hamletet, Benedettót és Oberont Shakespeare-adaptációkban, Fagint az Oliverben, Lennyt az Egerek és emberekben, Dmitrijt a Kamarazov testvérekben, számos más mellett.

Kőszegi Ákos a legfoglalkoztatottabb szinkronszínészek közé tartozik. Sorozatokhoz, filmekhez egyaránt felkérést kap. Ő kölcsönzi Victor Garber hangját az Aliasban, Kevin Sorbo magyar hangja a Herkulesben és David Carusóé a Miami helyszínelőkben. Gyakran szinkronizálja Tom Hanks színészt, s kisebb, de annál jelentősebb szereplők is megkapják orgánumát: a Csillagok háborújában Mace Windut, azaz Samuel L. Jacksont, A Gyűrűk Ura második és harmadik részében pedig Grímát szólaltatja meg magyarul, akit Brad Dourif alakít.